Question

在△ABC中,已知向量AM与AN分别是向量AB与AC方向上的单位向量,且满足AM×AN=1/2,（AM+AN）×BC=0

Answer 1

（1）由题意可知向量AM与AN的夹角为∠BAC

因为AM*AN=1/2,|AM|=|AN|=1

所以cos∠BAC＝AM*AN/(|AM|*|AN|)=1/2

得∠BAC＝60°

又（AM+AN）*BC=0

则(AB+AC)*BC=0

因为BC=AC-AB,所以：

(AB+AC)*(AC-AB)=0

即|AC|²-|AB|²=0

所以|AC|=|AB|

又∠BAC＝60°

所以△ABC是等边三角形

（2）因为PA+PB+PC=BC

所以PA+PB+PC=PC-PB

即PA=-2PB

所以向量PA与PB共线且方向相反

即点P在直线AB的反向延长线上

则PA=-2AB,PB=-AB

因为|AB|=|BC|=|AC|=3

所以|PA|=2|AB|=6

因为CP=AP-AC

所以|CP|²=(AP-AC)(AP-AC)

=|AP|²-2AP*AC+|AC|²

=36-2*6*3*cos60°+9

=36-18+9

=27

得|CP|=3√3