不可以,题目要求证明最小的正整数N,你开头用无穷大的极限思想只能说明n趋于无穷大时不等式成立,所以你之后计算n值都是没有理论依据的.
正确的
分析：先构造函数h（x）=x^3-x^2+ln（x+1）,然后研究h（x）在[0,+∞）上的单调性,求出函数h（x）的最小值,从而得到ln（x+1）＞x^2-x^3,最后令x=1/n ,即可证得结论．
对于函数f（x）=x^2-ln（x+1）,令函数h（x）=x^3-f（x）=x^3-x^2+ln（x+1）
则h'(x)=3x^2-2x+1/(x+1) =3x^3+(x-1)^2 / (x+1) ,
∴当x∈[0,+∞）时,h′（x）＞0
所以函数h（x）在[0,+∞）上单调递增,
又h（0）=0,
∴x∈（0,+∞）时,恒有h（x）＞h（0）=0
即x^2＜x^3+ln（x+1）恒成立．
取x=1/n ∈(0,+∞),则有ln(1/n +1)＞1/n^2 -1/n^3 恒成立．
显然,存在最小的正整数N=1,使得当n≥N时,不等式ln(1/n +1)＞1/n^2 -1/n^3 恒成立