解题思路：（Ⅰ）由题设知：l的方程为y=x+2，代入双曲线
C：
x
2
a
2
−
y
2
b
2
＝1(a＞0，b＞0)
，得：（b2-a2）x2-4a2x-4a2-a2b2=0，设B（x1，y1），D（x2，y2），则
x
1
+
x
2
＝
4
a
2
b
2
−
a
2
，
x
1
•
x
2
＝−
4
a
2
+
a
2
b
2
b
2
−
a
2
，由M（1，3）为BD的中点，知
4
a
2
b
2
−
a
2
＝2
，由此能求出双曲线C的离心率．
（Ⅱ）双曲线的左、右焦点为F1（-3，0），F2（3，0），点F1关于直线g：x-y+9=0的对称点F的坐标为（-9，6），直线FF2的方程为x+2y-3=0，故交点M（-5，4）．由此能求出椭圆的方程．
（本小题满分12分）
（Ⅰ）由题设知：l的方程为y=x+2，代入双曲线C：
x2
a2−
y2
b2＝1(a＞0，b＞0)，并化简得：
（b2-a2）x2-4a2x-4a2-a2b2=0，（*）…（2分）
设B（x1，y1），D（x2，y2），则x1+x2＝
4a2
b2−a2，x1•x2＝−
4a2+a2b2
b2−a2，…（4分）
由M（1，3）为BD的中点，知
x1+x2
2＝1，故
4a2
b2−a2＝2，
即b2=3a2．故c=2a，∴e=2．…（6分）
（Ⅱ）双曲线的左、右焦点为F1（-3，0），F2（3，0），点F1关于直线g：x-y+9=0①
的对称点F的坐标为（-9，6），直线FF2的方程为x+2y-3=0，②…（8分）
解方程组①②得：交点M（-5，4），…（9分）
此时|MF1|+|MF2|最小，所求椭圆的长轴2a＝|MF1| +|MF2| ＝|FF2| ＝6
5，
∴a=3
5，…（11分）
∵c=3，∴b2=36，故所求椭圆的方程为
x2
45+
y2
36＝1．…（12分）
点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的简单性质．
考点点评： 本题考查双曲线的离心率的求法，考查椭圆方程的求法，具有一定的探索性．解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．