（Ⅰ）a 1=2，a 2=3，a 3=4，猜测：a n=n+1
下用数学归纳法
①当n=1时，a 1=1+1=2，猜想成立；
②假设当n=k（k≥1）时猜想成立，即a k=k+1
由条件 a 1 +2 a 2 +3 a 3 +…+n a n =
n( a n +1) a n
3 ∴ a 1 +2 a 2 +3 a 3 +…+(n-1) a n-1 =
(n-1)( a n-1 +1) a n-1
3 (n≥2)
两式相减得： n a n =
n( a n +1) a n
3 -
(n-1)( a n-1 +1) a n-1
3
则当n=k+1时， (k+1) a k+1 =
(k+1)( a k+1 +1)
3 -
k( a k +1) a k
3 ⇒
a 2k+1 -2 a k+1 -k(k+2)=0 ∴a k+1=k+2即当n=k+1时，猜想也成立
故对一切的n∈N *，a n=n+1成立
（Ⅱ）设 f(x)=sinx-
2
π x(0＜x＜
π
2 )
由 f′(x)=cosx-
2
π =0⇒x=arccos
2
π
由y=cosx的单调性知f（x）在 (0，
π
2 ] 内有且只有一个极大值点，
且 f(0)=f(
π
2 )=0 ∴ 在(0，
π
3 )内f(x)＞0
即 sinx＞
2
π x(0＜x＜
π
2 ) ．
令 x=
π
a n ，当n≥2 时有
π
a n ∈(0，
π
2 ) ，∴ sin
π
a n ＞
2
a n
又当 n=1时，
π
a n =
π
2 ，∴ sin
π
a n =
2
a n ∴ sin
π
a n ≥
2
a n (n∈ N * )
（Ⅲ）∵a na n+1≥6，∴
1
a n a n+1 ∈(0，
π
2 )
由（Ⅱ）可知 sin
π
a n a n+1 ＞
2
a n a n+1 ∴ S n =sin
π
2•3 +sin
π
3•4 +…+sin
π
(n+1)•(n+2) ＞2(
1
2 -
1
3 +
1
3 -
1
4 +…+
1
n+1 -
1
n+2 )=2(
1
2 -
1
n+2 )≥
1
3
即对一切 n∈ N * ， S n ＞
1
3 ．
又∵ 在(0，
π
2 )内sinx＜x ∴ S n =sin
π
2•3 +sin
π
3•4 +…+sin
π
(n+1)•(n+2) ＜π(
1
2 -
1
3 +
1
3 -
1
4 +…+
1
n+1 -
1
n+2 )=π(
1
2 -
1
n+2 )＜
π
2
即对一切 n∈ N * ， S n ＜
π
2 ．∴
1
3 ＜ S n ＜
π
2 ．