Question

已知A（0，1）、B（0，2）、C（4t，2t2-1）（t∈R），⊙M是以AC为直径的圆，再以M为圆心、BM为半径作圆交

Answer 1

（Ⅰ）由题意得，B（0，2）、M（2t，t²），

∴|BM|=

(2t)2+(t2−2)2=

t4+4；

∴以M为圆心、BM为半径的圆方程为（x-2t）²+（y-t²）²=t⁴+4，

∴其交x轴的弦DE＝2

t4+4−t4＝4，

∴S△CDE＝

1

2DE•(2t2−1)＝14，解得，t=±2，

∴⊙M的方程为（x±4）²+（y-4）²=20；

（Ⅱ）假设存在存在一条平行于x轴的定直线与⊙M相切；

∵MA＝

(2t)2+(t2−1)2＝t2+1，y_M=t²，

∴存在一条平行于x轴的定直线y=-1与⊙M相切；

（Ⅲ）在△BDE中，设∠DBE=θ，且DE为弦，故θ∈(0，

π

2]，

由（Ⅰ）得，DE=4，在△BDE中，DE边上的高为2；

由三角形的面积相等得：

S△BDE＝

1

2BD•BE•sinθ＝

1

2×4×2＝4，

∴BD•BE＝

8

sinθ；

由余弦定理得，DE²=BD²+BE²-2BD•BE×cosθ，

∴BD2+BE2−16＝2×

8

sinθ×cosθ，

∴BD2+BE2＝

16

sinθcosθ+16，

∴