利用分离变量法,
当x=0时,f(x)=0,显然有f(x)≤0,
当x＞0时,f(x)=x-xcosx-ax³≤0等价于a≥(1-cosx)/x²,
令g(x)=(1-cosx)/x²,则g'(x)=(xsinx+2cosx-2)/x³,
再令h(x)=xsinx+2cosx-2,则h'(x)=xcosx-sinx,
注意到当x∈(0,π/2]时,有sinx/cosx=tanx＞x,
所以h'(x)=xcosx-sinx＜0,从而h(x)＜h(0)=0,
从而g'(x)＜0,即g(x)是单调递减函数,
另一方面,cosx=1-2sin²(x/2)＞1-x²/2,
求导可证cosx＜1-x²/2+x^4/24,
从而1/2-x²/24＜(1-cosx)/x²＜1/2,
则当x→0+时,(1-cosx)/x²→1/2,
故(1-cosx)/x²＜1/2对x∈(0,π/2]恒成立,
要使f(x)≤0在x∈[0,π/2]上恒成立,
必有a的取值范围为[1/2,+∞).