Question

已知函数f（x）=4x-a•2x+1+9，x∈[0，2]，

Answer 1

（1）a=4时，f（x）=4^x-4•2^x+1+9=4^x-8•2^x+9，x∈[0，2]，

设t=2^x，得t∈[1，4]，

f（x）=g（t）=t²-8t+9=（t-4）²-7

∵t=2^x在区间[0，2]上是增函数，且g（t）=（t-4）²-7在区间[1，4]上是减函数，

∴f（x）=4^x-4•2^x+1+9在区间[0，2]上是单调递减函数；

（2）令t=2^x，得t∈[1，4]，f（x）=g（t）=t²-2at+9，

∵t=2^x在[0，2]上是增函数，且g（t）=t²-2at+9在（-∞，a]或[a，+∞）上是单调函数

∴区间[1，4]是（-∞，a]的子集，或[1，4]是[a，+∞）的子集

由此可得a≥4或a≤1，即a的取值范围为（-∞，1]∪[4，+∞）；

（3）由（2）可得

①当a≤1时，f（x）在区间[0，2]上是增函数，

∴f（x）≥0在[0，2]上恒成立，即f（0）≥0，解之得a≤5

综合可得：a≤1；

②当a≥4时，f（x）在区间[0，2]上是减函数，

∴f（x）≥0在[0，2]上恒成立，即f（2）≥0，解之得a≤[17/8]

综合可得找不出实数a的取值；

③当1＜a＜4时，f（x）在区间[0，2]上先减后增，

∴f（x）≥0在[0，2]上恒成立，即f（log₂a）≥0，解之得-3≤a≤3

综合可得：1＜a≤3

综上所述，若f（x）≥0在[0，2]上恒成立，实数a的取值范围为（-∞，3]．