已知一点P到⊙O上的最小距离为2cm,到⊙O上的最大距离为6cm,求⊙O的直径.
解决这个问题时,学生画图后很自然地想到：P到⊙O上的最小距离就是PB的长,到⊙O上的最大距离就是PA的长.老师往往把眼光瞄准此题的两种情况：“点P是在圆内,还是在圆外”.从而引导学生分析这两种情况后得出答案：如图所示,当点P在圆内时,圆的直径为PA+PB=8cm,当点P在圆外时,圆的直径为PA-PB=4cm.
那么,在这个过程中,有一个问题被忽视了：为什么说P到⊙O上的最小距离就是线段 PB的长,到⊙O上的最大距离就是线段PA的长呢?前几天我在与同学们分析这个问题时,有的同学甚至说：那还用说吗?很明显嘛.
其实利用圆的有关性质,我们不难得出证明：在圆上任取一个与点B不重合的点C,连接PC与OC,由三角形三边关系可得：OP+PC＞OC ,所以有OP+PC＞OP+PB,可得PC＞PB,因为点C是不同于点B的任意一点,也就是说,除点B外,圆上任一点到P的距离都会大于PB的长,从而证明了点B就是点P到圆上最近的一点.同样的方法还可证明点A是P到圆上最远的一点以及当点P在圆外时的结论（如下图）.
从这道题的分析方法中,我们至少可以让学生明白两个道理.
一是这道题的证明方法是几何中常用的一种方法,要想说明某个量最大或最小,只须将这个量与其他任意一个符合题意的量进行对比,要是能得出其大小关系,由辅助量的任意性便可证明我们所需要的结论.二是有些我们看起来很自然的结论,实际上都是可以用我们学过的知识进行证明的,从而让学生学会分析我们学习中一些“熟视无睹”的现象中蕴藏着的数学道理.
在几何中,类似的问题还有“直径是圆中最长的弦”、“弓形高是弦的中点到弧上所有点中距离最短（优弧）或最长（劣弧）的线段”和“在河边建水泵站,使水泵站到河的同侧两村的距离和最小”等等