Question

已知函数f（x）=xlnx．（Ⅰ）求函数f（x）的极值点；（Ⅱ）若直线l过点（0，-1），并且与曲线y=f（x）相切，求

Answer 1

解题思路：（I）先对函数求导，研究函数的单调区间，根据F′（x）＞0求得的区间是单调增区间，F′（x）＜0求得的区间是单调减区间，求出极值．

（II）求出曲线方程的导函数，利用导函数中即可求出切线方程的斜率，根据求出的斜率和已知点的坐标写出切线方程即可；

（III）求导：g'（x）=lnx+1-a解g'（x）=0，得x=e^a-1，得出在区间（0，e^a-1）上，g（x）为递减函数，在区间（e^a-1，+∞）上，g（x）为递增函数，下面对a进行讨论：当e^a-1≤1，当1＜e^a-1＜e，当e^a-1≥e，从而得出g（x）的最小值．

（Ⅰ）f'（x）=lnx+1，x＞0，…（2分）

由f'（x）=0得x＝

1

e，…（3分）

所以，f（x）在区间(0，

1

e)上单调递减，在区间(

1

e，+∞)上单调递增．…（4分）

所以，x＝

1

e是函数f（x）的极小值点，极大值点不存在．…（5分）

（Ⅱ）设切点坐标为（x₀，y₀），则y₀=x₀lnx₀，…（6分）

切线的斜率为lnx₀+1，

所以，lnx0+1＝

y0+1

x0，…（7分）

解得x₀=1，y₀=0，…（8分）

所以直线l的方程为x-y-1=0．…（9分）

（Ⅲ）g（x）=xlnx-a（x-1），

则g'（x）=lnx+1-a，…（10分）

解g'（x）=0，得x=e^a-1，

所以，在区间（0，e^a-1）上，g（x）为递减函数，

在区间（e^a-1，+∞）上，g（x）为递增函数．…（11分）

当e^a-1≤1，即a≤1时，在区间[1，e]上，g（x）为递增函数，

所以g（x）最小值为g（1）=0．…（12分）

当1＜e^a-1＜e，即1＜a＜2时，g（x）的最小值为g（e^a-1）=a-e^a-1．…（13分）

当e^a-1≥e，即a≥2时，在区间[1，e]上，g（x）为递减函数，

所以g（x）最小值为g（e）=a+e-ae．…（14分）

综上，当a≤1时，g（x）最小值为0；当1＜a＜2时，g（x）的最小值a-e^a-1；当a≥2时，g（x）的最小值为a+e-ae．

点评：

本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评： 本题考查了导数的应用：利用导数判断函数的单调性及求单调区间；函数在区间上的最值的求解，其一般步骤是：先求极值，比较函数在区间内所有极值与端点函数．若函数在区间上有唯一的极大（小）值，则该极值就是相应的最大（小）值．