Question

如图所示，四棱锥 P － ABCD 的底面 ABCD 为一直角梯形，其中 BA ⊥ AD ， CD ⊥ AD ， CD

Answer 1

（1）见解析（2）

设 AB ＝ a ， PA ＝ b ，如图所示，建立空间直角坐标系，则 A (0，0，0)， B ( a ，0，0)， P (0，0， b )， C (2 a ，2 a ，0)， D (0，2 a ，0)， E

.

(1)证明：

＝

，

＝(0，2 a ，0)，

＝(0，0， b )，所以

＝

＋

，又 BE ⊄平面 PAD ， AD ⊂平面 PAD ， AP ⊂平面 PAD ，故 BE ∥平面 PAD .

(2)∵ BE ⊥平面 PCD ，∴ BE ⊥ PC ，即

·

＝0，

＝(2 a ，2 a ，－ b )，∴

·

＝2 a ²－

＝0，即 b ＝2 a .

在平面 BDE 和平面 BDC 中，

＝(0， a ， a )，

＝(－ a ，2 a ，0)，

＝( a ，2 a ，0)，

所以平面 BDE 的一个法向量为 n ₁＝(2，1，－1)，平面 BDC 的一个法向量为 n ₂＝(0，0，1)．

cos〈 n ₁， n ₂〉＝－

，所以平面 EBD 与平面 BDC 夹角的余弦值为

.