Question

已知：三角形ABC中,角C=90度,M为BC中点,MN⊥AB于D.求证：AD的平方=AC的平方+BD

Answer 1

取AB中点P,连接PM.

PM是△ABC的中位线,可得：PM‖AC,PM = (1/2)AC ；

已知,AC⊥BC,PM‖AC,可得：PM⊥BC；

由射影定理可得：PM^2 = PD·PB ,即有：AC^2 = 4·PD·PB .

因为,AD-BD = (AP+PD)-(PB-PD) = 2PD ,AD+BD = AB = 2PB ,

所以,AD^2-BD^2 = (AD-BD)(AD+BD) = (2PD)(2PB) = 4·PD·PB = AC^2 ；

即有：AD^2 = AC^2+BD^2 .