Question

设A为n阶矩阵．若存在正整数m使Am=O，则称A为n阶幂零矩阵．现设A为n阶幂零矩阵，E为n阶单位矩阵，B是n阶可逆矩阵

Answer 1

解题思路：首先，证明幂零矩阵A只有零特征值；然后，说明E+A的特征值全为1，即可证明（1）的结论；其次，由可交换的矩阵可同时上三角化，再利用A上三角化后主对角线上只有零元素，即可证明结论．

证明：（1）假设a是A的特征值，

则a^m是A^m的特征值，

而A^m=0，零矩阵只有0特征值

∴a^m=0

∴a=0．

即A的特征值只有0．

∴E+A的特征值只有1

∴|E+A|=1

（2）由AB=BA，知A和B可同时由初等变换上三角化，

而A的特征值为零

即A上三角化后，主对角线上的元素全为零

因此B+A上三角化后主对角线上只有B上三角化后主对角线上的元素

∴|B+A|=|B|．

点评：

本题考点： 矩阵的特征值和特征向量的性质；可逆矩阵的性质．

考点点评： 此题考查幂零矩阵的性质和矩阵可交换的性质，是基础知识点的综合，这些性质很多，但对常见的性质要非常熟悉．