过A作AH⊥BC于H,∠ADC=∠B+∠BAD=60°,∠DAC=45°,∠HAC=15°,∠DAH=30°；
设AH=X,∵△ABH是等腰直角三角形,所以BH=AH=X,∵△ADH是直角三角形,且为30°,60°,90°的三角形；
易知DH=X/根号3,所以BD=BH-DH=X-X/根号3；
tan(∠CAH)=tan(15°)=(tan(45)-tan(30))/(1+tan(45)*tan(30))=2-根号3；
CH=AH*tan(15)=(2-根号3)X;
所以DC=DH+HC=X/根号3+（2X-根号3*X）=2X-2X/根号3
所以DC=2BD,即证
不知道你是否学过相似三角形和勾股定理,如果学过的话可以看下面的解法：（虽然有点奇葩）
过C作CH垂直于AD交AD于H,∠CAD=45°,所以∠HAC=45°,所以AHC是等腰直角三角形
那么设AH=HC=X.
作DC中点F,连HF,DF=FC,又∵直角三角形斜边的中线等于斜边的一半,所以DF=FC=HF.
因为∠ADC=60,故∠DHF=∠DFH=60,所以三角形DHF为正三角形,那么DH=DF=FH=a,
DC=2a,在直角三角形DCH中,DH²+CH²=DC²,所以x²+a²=(2a)²,所以x=根号3*a,
在直角三角形AHC中,AH²+HC²=AC²,所以x²+x²=(AC)²,故AC=根号2*x=根号6*a.
三角形ABC是一个内角为45°,60°,75°的三角形,三角形ADC也是45,60,75的三角形.
那么它们相似,对应边成比例.
有：BC/AC=AB/AD=AC/DC,看BC/AC=AC/DC,变形为AC²=BC*DC=(BD+DC)*DC
（根号6*a）²=(BD+2a)*2a,
6a²=2a*BD+4a²,所以BD=2a,
所以DC=2BD.