Question

已知函数f（x）=loga[x+b/x−b]（a＞0，b＞0，a≠1）．

Answer 1

解题思路：（1）真数要大于0；（2）用奇偶性定义讨论；（3）先转化函数再用单调性定义讨论．

（1）使f（x）有意义，则[x+b/x−b]＞0，

∵b＞0，∴x＞b或x＜-b，

∴f（x）的定义域为{x|x＞b或x＜-b}．

（2）由（1）知f（x）的定义域关于原点对称，

∵f（-x）=log_a[−x+b/−x−b]=log_a[x−b/x+b]=log_a^{(
x+b
x−b)-1}=-log_a[x+b/x−b]=-f（x）．

∴f（x）为奇函数．

（3）设u=[x+b/x−b]=[x−b+2b/x−b]=1+[2b/x−b]，

设x₁＞x₂，则u₁-u₂=1+[2b

x1−b-(1+

2b

x2−b)=

2b(x2−x1)

(x1−b)(x2−b)，

当x₁＞x₂＞b时，

2b(x2−x1)

(x1−b)(x2−b)＜0，即u₁＜u₂，

此时，u为减函数，同理-b＞x₁＞x₂时，u也为减函数．

∴当a＞1时，f（x）=log_a

x+b/x−b]在（-∞，-b）上为减函数，在（b，+∞）上也为减函数．

当0＜a＜1时，

f（x）=log_a[x+b/x−b]在（-∞，-b）上为增函数，在（b，+∞）上也为增函数．

点评：

本题考点： 函数的定义域及其求法；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．

考点点评： 本题主要考查函数的基本性质单调性和奇偶性，是函数中的常考题型，属中高档题．