Question

已知一个直角三角形纸片OAB，其中∠AOB=90°，OA=2，OB=4，如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片

Answer 1

（Ⅰ）如图（1），折叠后点B与点A重合，连接AC，

则△ACD≌△BCD，

设点C的坐标为（0，m）（m>0），

则BC=OB-OC=4-m，

于是AC=BC=4-m，

在Rt△AOC中，由勾股定理，得AC ²=OC ²+OA ²，

即（4-m） ²=m ²+2 ²，解得m=

，

∴点C的坐标为

；

（Ⅱ）如图（2），折叠后点B落在OA边上的点为B′连接B′C，B′D，

则△B′CD≌△BCD，

由题设OB′=x，OC=y，

则B′C=BC=OB-OC=4-y，

在Rt△B′OC中，由勾股定理，

得B′C ²=OC ²+OB′ ²，

∴（4-y） ²=y ²+x ²，

即

，

由点B′在边OA上，有0≤x≤2，

∴解析式

（0≤x≤2）为所求，

∵当0≤x≤2时，y随x的增大而减小，

∴y的取值范围为

；

（Ⅲ）如图（3），折叠后点B落在OA边上的点为B′，连接B′C，B′D，B′D∥OB，

则∠OCB′=∠CB′D，

又∵∠CBD=∠CB′D，

∴∠CB′=∠CBD，

∴CB′∥BA，

∴Rt△COB′∽Rt△BOA，

有

，

得OC=20B′，

在Rt△B′OC中，设OB′=x ₀（x ₀>0），则OC=2x ₀，

由（Ⅱ）的结论，得2x ₀=

，

解得x ₀=

，

∵x ₀>0，

∴x ₀=

，

∴点C的坐标为

。