解题思路:(I)欲证EF⊥平面PAD,根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证EF与平面PAD内两相交直线垂直,而PA⊥EF,EF⊥AD,PA∩AD=A,满足定理的条件;
(II)设EF与AD相交于点G,连接PG,过A做AO⊥平面PEF,则O在PG上,所以线段AO的长为点A到平面PEF的距离,在三角形PAG中求出AO,即得到了点A到平面PEF的距离;
(III)过A做AH⊥PF,垂足为H,连接EH,根据二面角平面角的定义可知∠EHA为二面角E-PF-A的一个平面角,在直角三角形EHA中求出此角的正切值,最后用反三角函数表示即可.
(I)∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥EF,
AD为PD在平面ABC内的射影.
又∵点E、F分别为AB、AC的中点,∴EF∥BC
在△ABC中,由于AB=AC,故AD⊥BC,
所以EF⊥AD,∴PA⊥EF,EF⊥AD
∴EF⊥平面PAD(4分)
(II)设EF与AD相交于点G,连接PG.
∵EF⊥平面PAD,∴面PEF⊥dmPAD,交线为PG,
过A做AO⊥平面PEF,则O在PG上,
所以线段AO的长为点A到平面PEF的距离
在Rt△PAG中,PA=2,AG=
2,∴AO=
2
3
3
即点A到平面PEF的距离为
2
3
3(8分)
(III)∵PA⊥平面ABC,∠BAC=
π
2∴BA⊥平面PAC.
过A做AH⊥PF,垂足为H,连接EH.
则EH⊥PF
所以∠EHA为二面角E-PF-A的一个平面角.
在Rt△EAH中,EA=2,AH=
2,∴tan∠EHA=
2
2=
2
即二面角E-PF-A的正切值为
2.∴二面角E−PF−A的大小arttan
点评:
本题考点: 与二面角有关的立体几何综合题;直线与平面垂直的判定;点、线、面间的距离计算.
考点点评: 本题主要考查了直线与平面垂直的判定,以及点到平面的距离和二面角的度量,考查空间想象能力,几何逻辑推理能力,以及计算能力.