已知:如图所示,四边形ABCD中∠ABC=∠ADC=90°,M是AC上任一点,O是BD的中点,连接MO并延长MO到N,使

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  • 解题思路:(1)根据平行四边形的判定(对角线互相平分的四边形是平行四边形)即可解决问题.

    (2)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证到MB=MD,然后根据菱形的判定(有一组邻边相等的平行四边形是菱形)即可解决问题.

    (3)由MB=MA=MC=MD可求出∠BMC、∠DMC,从而可求出∠BMD,进而可求出菱形的其它内角.

    (1)四边形BNDM是平行四边形.

    证明:如图1,

    ∵NO=MO,OB=OD,

    ∴四边形BNDM是平行四边形.

    (2)四边形BNDM是菱形

    证明:如图2,

    ∵∠ABC=∠ADC=90°,M是AC的中点,

    ∴MB=MA=MC=MD.

    ∵四边形BNDM是平行四边形(已证),

    ∴平行四边形BNDM是菱形.

    (3)如图2,

    ∵∠ADC=90°,∠ACD=45°,

    ∴∠CAD=45°.

    ∵MB=MA=MC=MD,

    ∴∠MBA=∠MAB=30°,∠MDA=∠MAD=45°.

    ∴∠BMC=∠MBA+∠MAB=60°,∠DMC=∠MDA+∠MAD=90°.

    ∴∠BMD=∠BMC+∠DMC=60°+90°=150°.

    ∵四边形BNDM是菱形,

    ∴∠BND=∠BMD=150°,BN∥DM.

    ∴∠NBM+∠BMD=180°,∠BND+∠MDN=180°.

    ∴∠NBM=30°,∠MDN=30°.

    点评:

    本题考点: 四边形综合题.

    考点点评: 本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质、三角形的外角的性质、平行线的性质等知识,有一定的综合性.