Question

设函数f n （x）=x n +x-1，其中n∈N * ，且n≥2，给出下列三个结论：

Answer 1

①f ₃（x）=x ³+x-1，∵f ₃′（x）=3x ²+1＞0，∴函数在R上是单调增函数，∵f ₃（

1

2 ）=-

3

8 ＜0，f ₃（1）=1＞0，∴函数f ₃（x）在区间（

1

2 ，1）内存在零点，即①不正确；

②f ₄（x）=x ⁴+x-1，∵f ₄′（x）=4x ³+1，∵x∈（

1

2 ，1），∴f ₄′（x）＞0，∴函数在（

1

2 ，1）上是单调增函数，∵f ₄（

1

2 ）=-

7

16 ＜0，f ₄（1）=1＞0，∴函数f ₄（x）在区间（

1

2 ，1）内存在零点，即②正确；

③f _n（x）=x ⁿ+x-1，∵f _n′（x）=nx ^n-1+1，∵x∈（

1

2 ，1），∴f _n′（x）＞0，∴函数在（

1

2 ，1）上是单调增函数，∵f _n+1（x）-f _n（x）=x ⁿ（x-1）＜0，∴函数在（

1

2 ，1）上f _n+1（x）＜f _n（x），∵x _n（n＞4）为函数f _n（x）在区间（

1

2 ，1）内的零点，∴x _n＜x _n+1，即③正确

故答案为：②③