Question

求解一道概率题设随机变量X1,X2,…,Xn相互独立,D（Xi）=δi^2,δi不等于0,i=1,2…,n.又∑（i从1

Answer 1

因为X1,X2,…,Xn相互独立,所以

D(∑（i从1到n）aiXi) = ∑（i从1到n）D(aiXi) = ∑（i从1到n）ai^2 D(Xi) = ∑（i从1到n）ai^2 δi^2

设 L(a1,...,an,λ) = ∑（i从1到n）（aiδi)^2+λ（∑（i从1到n）ai-1),

当给定 a1,...,a(i-1),a(i+1),...,an,λ时,L是ai的二次函数,且开口向上.

于是在最小值处,有：

下面用 dL/dai 表示偏导数.

dL/dai = 2ai δi^2 + λ = 0 ,i = 1,...,n

==> -λ/2 = a1 δ1^2 = a1/(1/ δ1^2) = .= an/(1/ δn^2)

= (a1 + .+an)/((1/ δ1^2) + ...+(1/ δn^2))

= 1/ ((1/ δ1^2) + ...+(1/ δn^2))

==>

ai = -λ / (2δi^2) = 1/δi^2 * (-λ/2)= 1/δi^2 / ((1/ δ1^2) + ...+(1/ δn^2)) ,i = 1,2,...,n

当 ai ,i=1,...,n,为上值时,方差最小.