Question

已知等比数列{an}中，a1=64，公比q≠1，a2，a3，a4又分别是某等差数列的第7项、第3项和第1项．

Answer 1

解题思路：（1）由已知条件，利用等比数列和等差数列的通项公式推导出2a₁q³-3a₁q²+a₁q=0，由此能求出数列{a_n}的通项公式．

（2）由（1）和对数运算法则推导出b_n=7-n，由此能求出|b_n|的前n项和．

（1）∵等比数列{a_n}中，a₁=64，公比q≠1，

a₂，a₃，a₄又分别是某等差数列的第7项、第3项和第1项，

∴a₂-a₄=3（a₃-a₄），

即2a₁q³-3a₁q²+a₁q=0，

∴2q²-3q+1=0．

∵q≠1，

∴q=[1/2]，

∴a_n=64×（[1/2]）^n-1

（2）∵a_n=64×（[1/2]）^n-1，

∴b_n=log₂a_n=log₂[64×（[1/2]）^n-1]=7-n

∴|b_n|=

7−n，n≤7

n−7，n＞7．

当n≤7时，Tn＝

n

2(6+7−n)=

n(13−n)

2．

当n＞7时，T_n=T₇+

(n−7)(n−6)

2=21+

(n−7)(n−6)

2，

∴T_n=

n(13−n)

2，n≤7

21+

(n−7)(n−6)

2，n＞7．

点评：

本题考点： 数列的求和；等差数列的性质．

考点点评： 本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．