解题思路:(1)令t=logax,则x=at,利用对数的运算性质,结合已知中
0<a<1,x>0,f(lo
g
a
x)=
a(
x
2
−1)
x(
a
2
−1)
,可得结论
f(t)=
a
a
2
−1
•
a
2t
−1
a
t
;
(2)由(1)中
f(t)=
a
a
2
−1
•
a
2t
−1
a
t
,将t=1入,可得f(1)=1,分析f(t)的单调性,进而可得答案.
证明:(1)设t=logax,则x=at,
由0<a<1,x>0,f(logax)=
a(x2−1)
x(a2−1)可得:
f(logax)=f(t)=
a
a2−1•
a2t−1
at,…(4分)
(2)f(t)=
a
a2−1•
a2t−1
at,可知f(1)=
a
a2−1•
a2−1
a=1.
再研究f(t)的单调性.
设t1<t2,
则f(t1)−f(t2)=
a
a2−1•
(at1−at2)(1+at1at2)
at1at2.
因为0<a<1,且t1<t2,
所以a2-1<0,at1−at2>0,又at1at2>0,及1+at1at2>0,
则f(t1)-f(t2)<0,
即f(t1)<f(t2).…(8分)
因此函数f(t)在R上单调递增.…(10分)
而a<1,故f(a)<f(1)=1.…(12分)
点评:
本题考点: 函数解析式的求解及常用方法;函数单调性的性质.
考点点评: 本题考查的知识点是函数解析式的求解及常用方法,函数单调性的性质,是函数图象和性质的综合应用,难度中档.