设0<a<1,x>0,f(logax)=a(x2−1)x(a2−1),

1个回答

  • 解题思路:(1)令t=logax,则x=at,利用对数的运算性质,结合已知中

    0<a<1,x>0,f(lo

    g

    a

    x)=

    a(

    x

    2

    −1)

    x(

    a

    2

    −1)

    ,可得结论

    f(t)=

    a

    a

    2

    −1

    a

    2t

    −1

    a

    t

    (2)由(1)中

    f(t)=

    a

    a

    2

    −1

    a

    2t

    −1

    a

    t

    ,将t=1入,可得f(1)=1,分析f(t)的单调性,进而可得答案.

    证明:(1)设t=logax,则x=at

    由0<a<1,x>0,f(logax)=

    a(x2−1)

    x(a2−1)可得:

    f(logax)=f(t)=

    a

    a2−1•

    a2t−1

    at,…(4分)

    (2)f(t)=

    a

    a2−1•

    a2t−1

    at,可知f(1)=

    a

    a2−1•

    a2−1

    a=1.

    再研究f(t)的单调性.

    设t1<t2

    则f(t1)−f(t2)=

    a

    a2−1•

    (at1−at2)(1+at1at2)

    at1at2.

    因为0<a<1,且t1<t2

    所以a2-1<0,at1−at2>0,又at1at2>0,及1+at1at2>0,

    则f(t1)-f(t2)<0,

    即f(t1)<f(t2).…(8分)

    因此函数f(t)在R上单调递增.…(10分)

    而a<1,故f(a)<f(1)=1.…(12分)

    点评:

    本题考点: 函数解析式的求解及常用方法;函数单调性的性质.

    考点点评: 本题考查的知识点是函数解析式的求解及常用方法,函数单调性的性质,是函数图象和性质的综合应用,难度中档.