Question

线性方程组与它的增广矩阵的秩有什么关系吗?他们之间有什么联系吗,我的意思是它会影响到线性方程组的解吗,如果能影响,具体是

Answer 1

你应该知道,线性方程组可以表示成向量的形式:x1a1 + x2a2+ .+ xnan = b

( 其中ai 是 方程组中未知量 xi 的系数 构成的列向量 )

那么方程组有解 x1a1 + x2a2+ .+ xnan = b 有解

b 可由 a1,a2,...,an 线性表示

向量组a1,a2,...,an 与 a1,a2,...,an ,b 等价

矩阵 (a1,a2,...,an) 与 (a1,a2,...,an ,b) 秩相同

矩阵 (a1,a2,...,an) 与 (a1,a2,...,an ,b) 分别是方程组的系数矩阵和增广矩阵,

所以 线性方程组有解 增广矩阵的秩 = 系数矩阵的秩