在数学中,泰勒公式是用点接近其公式的值的说明的信息的功能.如果函数是足够光滑,以根据各自的一阶导数值已知的功能的点上,泰勒公式可以用于构建做因子的多项式来近似在这一点附近的函数值,这些导数值.泰勒多项式方程还给出了这样的功能的实际值之间的偏差.
泰勒公式（泰勒公式）的
泰勒中值定理：若函数f（x）在开区间（A,B）,直到第n + 1阶导数,在此范围内的功能可以扩展为一个多项式,并与一个以上的项目（二十）：
函数f（x）= F + f（其中（X）.X）（XX）+ F'（X）/ 2!*（XX）^ 2 + F'''（X）/ 3!*（XX）^ 3 + .+ F（n）的（X）/ N!*（XX）^ N + Rn的
其中的Rn = F（N + 1）（ξ）/（N + 1）!*（二十）^（n + 1个）,其中x和X,ξ之间,拉格朗日式中提到的其余的剩余部分.
（注：...F（n）的（x）的值为f n阶导数（x）的,而不是F（N）和x相乘）
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我们知道,函数f（x）= F（X）+ F'（X）（XX）+α（基于有限增量定理拉格朗日中值定理的推导有limΔx→0下的f（x +ΔX）-f（X）= F'（X）.ΔX）,其中α是在limΔx→0即limx→x中的错误.前提是趋向于零,所以往往在近似计算不够精确;所以我们需要一个足够准确,可以估算错误多项式：P（X）= A0 + A1（XX）+ A2（XX）^ 2 + .+的^ N（XX）来表示的近似函数f（x）,并写入错误是函数f（x） - P（x）的具体表达.设定函数P（x）的满足P（X）= F（X）,P'（X）= F'（X）,P'（X）= F'（X）......,P（n）的（X）= F（N）（X）,然后可以顺序地获得的A0,A1,A2,.,一个.显然,P（X）= A 0,所以A 0 =函数f（x）; P'（x）= A 1,A 1 = F'（X）; P'（X）= 2 A 2,A 2!= f的'（X）/ 2!.P（n）的（X）= N!一,安= F（n）的（X）/ N!因此,一个数的系数已被确定,得到：（x）P（x）的= F + f的（X）（二十）+ F''/ 2（二十（x）的!.） ^ 2 + .+ F（n）的（X）/ N!（XX）的n次方.然后请求错误的具体表现.设置Rn中（x）的=函数f（x）-P（x）,则与设Rn = F（十）（X） - （x）的P（英寸x）= 0.这是可能的,得到设Rn = Rn的'（X）= Rn的''（X）= ...= Rn的（N）（X）= 0.根据柯西中值定理可以得到氡（X）/（XX）.^（N + 1）=（Rn中（x）的-Rn（X））/（（二十）.^（N + 1）-0）= Rn中'（ξ1）/（n + 1个）的n次方（注：（X.-x）的^第（n + 1）= 0.）,其中x和X之间ξ1;继续（ξ1-X）.使用Cauthy定理（Rn中'（ξ1）-Rn'（X））/（（n + 1个）（ξ1-X）^正 - 0）= Rn中''（ξ2）/ N（N + 1）.（ξ2-x）的^（n-1个）,其中x之间ξ1和ξ2;.连续使用n + 1个Rn中后得到（x）的/第（xx）^第（n + 1）= Rn的（n + 1个）（ξ）/（n + 1个）!,其中在两者之间在xξX.和.然而,Rn的第（n + 1）（x）的= F（N + 1）（x）的P（n + 1个）（x）中,由于在P（n）的（x）的=正!一,正!一个是一个常数.因此P第（n + 1）（x）的= 0,则是Rn中第（n + 1）（x）的= F（N + 1）（x）的.总之可用,其余Rn中（x）的= F（N + 1）（ξ）/（n + 1个）!（XX）^（N + 1）.在一般的扩展函数来计算的,因此,X倾向于取一固定值,则也将Rn的（x）的可写为Rn中.