Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=[1/2]，Sn=n2an-7n（n-1）

Answer 1

解题思路：（1）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，转化为等差数列即可得出．

（2）利用等差数列的前n项和公式即可得出．

（1）证明：由S_n=n²a_n-7n（n-1），

当n≥2时，S_n=n²（S_n-S _n-1）-7n（n-1），

∴整理得出（n²-1）S_n-n²S_n-1=7（n²-n），

两边同除以n²-n整理得[n+1/n]S_n-[n/n−1]S_n-1=7，

∴数列{[n+1/n]S_n}是等差数列，公差为7，首项为2S₁=2a₁=1．

其通项公式为[n+1/n]S_n=1+7（n-1）=7n-6，

∴S_n=

(7n−6)•n

n+1．

（2）由（1）可得Sn＝7n−13+

13

n+1＞0，

∴T_n=7×

n(n+1)

2−13n+13(

1

2+

1

3+…+

1

n+1)．

点评：

本题考点： 数列递推式；等差关系的确定；数列的求和．

考点点评： 本题考查了“当n≥2时，an=Sn-Sn-1”、等差数列的通项公式及前n项和公式等基础知识与基本技能方法，属于难题．