在正方体ABCD-A1B1C1D1,上下底面对角线分别交于O,O1,E是CC1中点,求证A1O⊥

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  • 几何法:

    ∵BD⊥OA,A1A⊥面AC於A

    ∴OA1⊥BD

    在面AC1上观察,设棱长为2,则有AA1=2,OA=√2=OC,CE=1

    易得Rt△AOA1∽Rt△CEO

    ∴∠AOA1=∠CEO

    ∵∠CEO+∠COE=90°,∴∠AOA1+∠COE=90°

    ∴OA1⊥OE

    ∵OE⊂面BED

    ∴OA1⊥面BED

    向量法1:

    连接OO1,取其中点M,则CE→=OM→,且OC→=-OA→

    ∴OE→=OC→+CE→=OM→-OA→

    设棱长为2

    OA1→*OE→

    =OA1→*(OM→-OA→)

    =OA1→*OM→-OA1→*OA→

    =OA1*OM*cosA1OO1-OA1*OA*cosA1OA

    =OA1*(1*OO1/OA1-√2*OA/OA1)

    =OA1*(2√6-√2*√2/√6)

    =0

    ∴OA1⊥OE

    ∵BD⊥OA,BD⊥AA1

    ∴BD→*OA1→=BD→*(OA→+AA1→)

    =BD→*OA→+BD→*AA1→

    =0

    ∴OA1⊥BD

    ∵OE⊂面BED,∴OA1⊥面BED

    向量法2:

    以O为原点,AC,BD,OO1为坐标轴建系

    设棱长为2,则BD→=(0,2√2,0),OE→=(√2,0,1)

    ∵OE⊂面BED,且BD→,OE→相交於O

    ∴BD→×OE→=(2√2,0,-4)=n→是面BED的法向量

    ∵OA1→=(-√2,0,2)=-1/2*n→

    ∴OA1→∥n→,即OA1→是面BED的法向量

    ∴OA1⊥面BED