（1）证明：∵ BC=
1
2 AB ， AP=
1
2 PD ，∴
BC
AB =
AP
PD ．
（1分）
又∵∠APD=∠ABC，∴△APD ∽ △ABC．（1分）
∴∠DAP=∠ACB，（1分）
∴AD ∥ BC．（1分）
（2）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．
∴∠DAP=∠DPA，
∴AD=PD．（1分）
∵AP=x，∴AD=2x．（1分）
∵ BC=
1
2 AB ，AB=4，∴BC=2．
∵AD ∥ BC，∴
BE
AE =
BC
AD ，即
y
y+4 =
2
2x ．（1分）
整理，得y关于x的函数解析式为 y=
4
x-1 ．（1分）
定义域为1＜x≤4．（1分）
（3）平行．（1分）
证明：∵∠CPD=∠CBE，∠PCD＞∠E，
∴当△CDP与△CBE相似时，∠PCD=∠BCE．（1分）
∴
BE
BC =
DP
PC ，即
y
2 =
2x
4-x ．（1分）
把 y=
4
x-1 代入，整理得x 2=4．
∴x=2，x=-2（舍去）．（1分）
∴y=4，
∴AP=CP，AB=BE，（1分）
∴BP ∥ CE，即BP ∥ DE．