Question

平面内与两定点A 1 （-a，0），A 2 （a，0）（a＞0）连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上A 1 、A

Answer 1

（Ⅰ）设动点为M，其坐标为（x，y），

当x≠±a时，由条件可得 k M A 1 • k M A 2 =

y

x-a •

y

x+a =m ，

即mx ²-y ²=ma ²（x≠±a），

又A ₁（-a，0），A ₂（a，0）的坐标满足mx ²-y ²=ma ²．

当m＜-1时，曲线C的方程为

x 2

a 2 +

y 2

-m a 2 =1 ，C是焦点在y轴上的椭圆；

当m=-1时，曲线C的方程为x ²+y ²=a ²，C是圆心在原点的圆；

当-1＜m＜0时，曲线C的方程为

x 2

a 2 +

y 2

-m a 2 =1 ，C是焦点在x轴上的椭圆；

当m＞0时，曲线C的方程为

x 2

a 2 -

y 2

m a 2 =1 ，C是焦点在x轴上的双曲线；

（Ⅱ）由（I）知，当m=-1时，C ₁方程为x ²+y ²=a ²，

当m∈（-1，0）∪（0，+∞）时，C ₂的焦点分别为F ₁（-a

1+m ，0），F ₂（a

1+m ，0），

对于给定的m∈（-1，0）∪（0，+∞），C ₁上存在点N（x ₀，y ₀）（y ₀≠0），使得△F ₁NF ₂的面积S=|m|a ²，

的充要条件为

x 0 2 + y 0 2 = a 2 ①

1

2 2a

1+m | y 0 |=|m| a 2 ②

由①得0＜|y ₀|≤a，由②得|y ₀|=

|m|a

1+m ，

当0＜

|m|a

1+m ≤a，即

1-

5

2 ≤m＜0 ，或 0＜m≤

1+

5

2 时，

存在点N，使S=|m|a ²，

当

|m|a

1+m ＞a ，即 -1＜m＜

1-

5

2 ，或 m＞

1+

5

2 时，不存在满足条件的点N．

当m∈[

1-

5

2 ，0）∪（0，

1+

5

2 ]时，由

N F 1 =（-a

1+m -x ₀，-y ₀），

N F 2 =（a

1+m -x ₀，-y ₀），

可得

N F 1 •

N F 2 =x ₀ ²-（1+m）a ²+y ₀ ²=-ma ²．

令 |

N F 1 | =r ₁，|

N F 2 |=r ₂，∠F ₁NF ₂=θ，

则由

N F 1 •

N F 2 =r ₁r ₂cosθ=-ma ²，可得r ₁r ₂= -

m a 2

cosθ ，

从而s=

1

2 r ₁r ₂sinθ= -

m a 2 sinθ

2cosθ =-

1

2 m a 2 tanθ ，于是由S=|m|a ²，

可得-

1

2 m a 2 tanθ =|m|a ²，即tanθ= -

2|m|

m ，

综上可得：当m∈[

1-

5

2 ，0）时，在C ₁上存在点N，使得△F ₁NF ₂的面积S=|m|a ²，且tanθ=2；

当m∈（0，

1+

5

2 ]时，在C ₁上存在点N，使得△F ₁NF ₂的面积S=|m|a ²，且tanθ=-2；

当 (-1，

1-

5

2 )∪(

1+

5

2 ，+∞) 时，不存在满足条件的点N．