解题思路：（1）由抛物线y=a（x-h）2+k的顶点坐标是B（1，2）知：h=1，k=2，则y=a（x-1）2+2，再把A点坐标代入此解析式即可；
（2）易知△OAC是等腰直角三角形，可得AC的垂直平分线是直线y=x，根据“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”知直线y=x与抛物线的交点即为点P，解方程组即可求出P点坐标；
（3）先求出第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点的坐标，再与P点的坐标比较进行判断．满足条件的点一定是与直线AC平行且与抛物线有唯一交点的直线与抛物线相交产生的，易求出直线AC的解析式，设出与AC平行的直线的解析式，令它与抛物线的解析式组成的方程组有唯一解，求出交点坐标，通过判断它与点P是否重合来判断点P是否是第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点．
（1）∵抛物线y=a（x-h）2+k顶点坐标为B（1，2），
∴y=a（x-1）2+2，
∵抛物线经过点A（0，1），
∴a（0-1）2+2=1，
∴a=-1，
∴此抛物线的解析式为y=-（x-1）2+2或y=-x2+2x+1；
（2）∵A（0，1），C（1，0），
∴OA=OC，
∴△OAC是等腰直角三角形．
过点O作AC的垂线l，根据等腰三角形的“三线合一”的性质知：l是AC的中垂线，
∴l与抛物线的交点即为点P．
如图，直线l的解析式为y=x，
解方程组
y＝x
y＝−x2+2x+1，
得
x1＝
1+
5
2
y1＝
1+
5
2，
点评：
本题考点： 二次函数综合题．
考点点评： 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求直线、抛物线的解析式，等腰直角三角形的判定与性质，两函数图象交点坐标的求法，二次函数与一元二次方程的关系，综合性较强，难度适中．