Question

已知函数f1(x)＝2x−1x+1，对于n∈N*，定义fn+1（x）=f1[fn（x）]，则f2011（x）=[2x−1

Answer 1

解题思路：函数对于n∈N^*，定义f_n+1（x）=f₁[f_n（x）]，故f₂（x）=f₁[f₁（x）]=f₁（[2x−1/x+1]）=[x−1/x]．f₃（x）=f₁（[x−1/x]）=[x−2/2x−1]，f₄（x）=f₁（[x−2/2x−1]）=[1/1−x]，f₅（x）=f₁（[1/1−x]）=[x+1/2−x]，f₆（x）=f₁（[x+1/2−x]）=x，f₇（x）=f₁（x）=[2x−1/x+1]．所以从f₁（x）到f₆（x），每6个一循环．由此能求出结果．

∵函数对于n∈N^*，定义f_n+1（x）=f₁[f_n（x）]，

∴f₂（x）=f₁[f₁（x）]=f₁（[2x−1/x+1]）=

2•

2x−1

x+1−1

2x−1

x+1+1=[x−1/x]．

f₃（x）=f₁[f₂（x）]=f₁（[x−1/x]）=

2•

x−1

x−1

x−1

x+1=[x−2/2x−1]，

f₄（x）=f₁[f₃（x）]=f₁（[x−2/2x−1]）=

2•

x−2

2x−1−1

x−2

2x−1+1=[1/1−x]，

f₅（x）=f₁[f₄（x）]=f₁（[1/1−x]）=

2•

1

1−x−1

1

1−x+1=[x+1/2−x]，

f₆（x）=f₁[f₅（x）]=f₁（[x+1/2−x]）=

2•

x+1

2−x−1

x+1

2−x+1=x，

f₇（x）=f₁[f₆（x）]=f₁（x）=[2x−1/x+1]=f₁（x）．

所以从f₁（x）到f₆（x），每6个一循环．

∵2011=335×6+1，

∴f₂₀₁₁（x）=f1(x)＝

2x−1

x+1，

故答案为：[2x−1/x+1]．

点评：

本题考点： 函数的周期性．

考点点评： 本题考查函数的周期性，是基础题．解题时要认真审题，解题的关键是得到从f1（x）到f6（x），每6个一循环．