Question

（2013•大兴区一模）已知数列{an}的各项均为正整数，且a1＜a2＜…＜an，设集合Ak={x|x=ni＝1

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）先根据题中的新定义定出集合A₂={-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4}，再根据几阶完备数列，几阶完整数列，几阶完美数列的定义得出结论；

（Ⅱ）对于∀x∈A_n，先假设存在2组λ_i及μ_i（i=1，2…，n）使

x＝

n

i＝1

λ

i

a

i

成立，则有

(

λ

1

−

μ

1

)1

0

0

+(

λ

2

−

μ

2

)1

0

1

+…+(

λ

n

−

μ

n

)1

0

n−1

＝0

，从而必有λ₁=μ₁，λ₂=μ₂…λ_n=μ_n，从而得出数列{a_n}为n阶完备数列；再利用对∀x∈A_n，

x＝

n

i＝1

λ

i

a

i

，则

−x＝−

n

i＝1

λ

i

a

i

＝

n

i＝1

(−

λ

i

)

a

i

，得到-x∈A_n，从而求出S_n的值；

（Ⅲ）若存在n阶完美数列，则由性质1易知A_n中必有3ⁿ个元素，由（Ⅱ）知A_n中元素成对出现（互为相反数），且0∈A_n，又{a_n}具有性质2，从而得出数列{a_n}通项公式．

（Ⅰ）A₂={-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4}；

∴{a_n}为2阶完备数列，2阶完整数列，2阶完美数列；

（Ⅱ）若对于∀x∈A_n，假设存在2组λ_i及μ_i（i=1，2…，n）使x＝

n

i＝1λiai成立，则有λ1100+λ2102+…+λn10n−1＝μ1100+μ2102+…+μn10n−1，即(λ1−μ1)100+(λ2−μ2)101+…+(λn−μn)10n−1＝0，

其中λ_i，μ_i∈{-1，0，1}，必有λ₁=μ₁，λ₂=μ₂…λ_n=μ_n，

所以仅存在唯一一组λ_i（i=1，2…，n）使x＝

n

i＝1λiai成立，

即数列{a_n}为n阶完备数列；S_n=0，对∀x∈A_n，x＝

n

i＝1λiai，则−x＝−

n

i＝1λiai＝

n

i＝1(−λi)ai，因为λ_i∈{-1，0，1}，则-λ_i∈{-1，0，1}，所以-x∈A_n，即S_n=0

（Ⅲ）若存在n阶完美数列，则由性质1易知A_n中必有3ⁿ个元素，

由（Ⅱ）知A_n中元素成对出现（互为相反数），且0∈A_n，又{a_n}具有性质2，

则A_n中3ⁿ个元素必为An＝{−

3n−1

2，−

3n−3

2，…−1，0，1，…

3n−3

2，

3n−1

2}．

∴an＝3n−1．

点评：

本题考点： 一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式．

考点点评： 本小题主要考查一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式，考查分析问题、解决问题的能力．属于难题．