Question

已知a.b.c为正数,且a3+b3+C3=3abc.求证a=b=c

Answer 1

a^3+b^3+c^3=3abc

a^3+b^3+c^3-3abc=0

a^3+b^3+c^3-3abc

=(a+b)(a^2-ab+b^2)+c(c^2-3ab)

=(a+b)(a^2-ab+b^2)+c(c^2-3ab+a^2-ab+b^2-a^2+ab-b^2)

=(a+b)(a^2-ab+b^2)+c[(c^2-a^2-2ab-b^2)+(a^2-ab+b^2)]

=(a+b)(a^2-ab+b^2)+c[c^2-(a+b)^2]+c(a^2-ab+b^2)

=(a+b+c)(a^2-ab+b^2)+c(a+b+c)(c-a-b)

=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)=0

∵a>0,b>0,c>0

∴a+b+c≠0

∴a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0

∴[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]/2=0

∴a=b=c