Question

高数求极限n趋向于无穷时,a^n*n!/n^n的极限是什么?我来念一遍吧：n趋向于无穷时，a的n次乘上n的阶乘比上n的n

Answer 1

利用斯特林(Stiring)公式,

lim{[√(2πn)]*(n/e)^n/n!}=1,n→+∞

n![√(2πn)]*(n/e)^n,n→+∞

代入极限式,可得

lim(a^n*n!/n^n),n→+∞

=lim{a^n*[√(2πn)]*(n/e)^n/n^n},n→+∞

=lim[(a/e)^n*√(2πn)],n→+∞

因为a>e,所以

=lim[(a/e)^n*√(2πn)]→+∞,n→+∞

即lim(a^n*n!/n^n)→+∞,n→+∞

为无穷大!