已知f(x)=14x+m(m>0),当x1、x2∈R且x1+x2=1时,总有f(x1)+f(x2)=12.

1个回答

  • 解题思路:(1)根据题意,取,取

    x

    1

    x

    2

    1

    2

    求得f([1/2])的值,进而根据函数解析式求得m的值.进而把m代入函数解析式求得f(x1)+f(x2)=[1/2]恒成立,进而可知m的值.

    (2)

    a

    n

    =f(

    0

    n

    )+f(

    1

    n

    )+f(

    2

    n

    )++f(

    n

    n

    )

    a

    n

    =f(

    n

    n

    )+f(

    n−1

    n

    )+f(

    n−2

    n

    )++f(

    0

    n

    )

    两式,根据已知条件求得

    2

    a

    n

    n+1

    2

    ,进而求得an

    (1)依题意,取x1=x2=

    1

    2得f(

    1

    2)=

    1

    4,

    1

    4+m=

    1

    4,所以m=2.

    当m=2时,∀x1、x2∈R,x1+x2=1,

    有f(x1)+f(x2)=

    1

    4x1+2+

    1

    4x2+2═

    4+(4x1+4x2)

    4x1+x2+2(4x1+4x2)+4=

    1

    2,

    所以m=2.

    (2)an=f(

    0

    n)+f(

    1

    n)+f(

    2

    n)++f(

    n

    n),an=f(

    n

    n)+f(

    n−1

    n)+f(

    n−2

    n)++f(

    0

    n)

    两式相加,并由已知得2an=

    n+1

    2,

    所以an=

    n+1

    4.

    点评:

    本题考点: 数列与不等式的综合;函数恒成立问题;数列递推式.

    考点点评: 本题主要考查了恒等、定值问题,倒序相加求数列通项,考查了学生综合运用所学知识的能力.