Question

给出以下四个命题：①函数 f(x)=sinx+2x f ′ ( π 3 ) ，f′（x）为f（x）的导函数，令a=log

Answer 1

①∵ f′(x)=cosx+2 f ′ (

π

3 ) ，∴ f′(

π

3 )=cos

π

3 +2 f ′ (

π

3 ) ，∴f′（

π

3 ）=-

1

2 ，

∴f′（x）=cosx-1≤0，∴函数f（x）为R上的减函数，

∵a=log ₃2， b=

1

2 =log ₃

3 ，∴a＞b

∴f（a）＜f（b），①正确

②∵ f(x+2)=-

1

f(x) ，∴f（x+4）= -

1

f(x+2) = -

1

-

1

f(x) =f（x），∴函数y=f（x）是以4为周期的周期函数；②正确；

③∵a ₁=1，且满足S _n+1=

1

2 S _n+2，∴a ₂=

3

2 ，a ₃=

3

4 ，显然此数列的前三项不成等比数列，③错误；

④y=3 ^x+3 ^-x=y=3 ^x+

1

3 x ≥2

3 x ×

1

3 x =2，（当且仅当3 ^x=1，即x=0时取等号），故x＜0时，y=3 ^x+3 ^-x无最小值为，④错误

故答案为①②