Question

已知平面上的动点P（x，y）及两定点A（-2，0），B（2，0），直线PA，PB的斜率分别是 k 1 ，k 2

Answer 1

（1）由题意得

y

x+2 •

y

x-2 =-

1

4 ，（x≠±2），即x ²+4y ²=4（x≠±2）．

∴动点P的轨迹C的方程是

x 2

4 + y 2 =1(x≠±2) ．

（2）设点M（x ₁，y ₁），N（x ₂，y ₂），联立

y=kx+m

x 2 +4 y 2 =4 ，化为（1+4k ²）x ²+8kmx+4m ²-4=0，

∴△=64k ²m ²-16（m ²-1）（1+4k ²）=16（1+4k ²-m ²）＞0．

∴ x 1 + x 2 =-

8km

1+4 k 2 ， x 1 x 2 =

4 m 2 -4

1+4 k 2 ．

∴y ₁y ₂=（kx ₁+m）（kx ₂+m）= k 2 x 1 x 2 +km( x 1 + x 2 )+ m 2 ，

①若OM⊥ON，则x ₁x ₂+y ₁y ₂=0，∴ (1+ k 2 ) x 1 x 2 +km( x 1 + x 2 )+ m 2 =0 ，

∴

(1+ k 2 )(4 m 2 -4)

1+4 k 2 -

8 k 2 m 2

1+4 k 2 + m 2 =0 ，化为 m 2 =

4

5 (1+ k 2 ) ，此时点O到直线l的距离d=

|m|

1+ k 2 =

2

5

5 ．

②∵k _BM•k _BN=-

1

4 ，∴

y 1

x 1 -2 •

y 1

x 1 +2 =-

1

4 ，

∴x ₁x ₂-2（x ₁+x ₂）+4+4y ₁y ₂=0，

∴ x 1 x 2 -2( x 1 + x 2 )+4+4 k 2 x 1 x 2 + 4km( x 1 + x 2 )+4 m 2 =0 ，

代入化为 4 m 2 -4-

8km(4km-2)

1+4 k 2 +4 m 2 +4=0 ，化简得m（m+2k）=0，解得m=0或m=-2k．

当m=0时，直线l恒过原点；

当m=-2k时，直线l恒过点（2，0），此时直线l与曲线C最多有一个公共点，不符合题意，

综上可知：直线l恒过定点（0，0）．