把二次三项式分解因式的数学思想方法是什么?

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  • ⑴提公因式法

    ①公因式:各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的~.

    ②提公因式法:一般地,如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.

    am+bm+cm=m(a+b+c)

    ③具体方法:当各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的最大公约数;字母取各项的相同的字母,而且各字母的指数取次数最低的.如果多项式的第一项是负的,一般要提出“-”号,使括号内的第一项的系数是正的.

    ⑵运用公式法

    ①平方差公式:.a^2-b^2=(a+b)(a-b)

    ②完全平方公式:a^2±2ab+b^2=(a±b)^2

    ※能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式,另一项是这两个数(或式)的积的2倍.

    ③立方和公式:a^3+b^3= (a+b)(a^2-ab+b^2).

    立方差公式:a^3-b^3= (a-b)(a^2+ab+b^2).

    ④完全立方公式:a^3±3a^2b+3ab^2±b^3=(a±b)^3

    ⑤a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+……+b^(n-2)a+b^(n-1)]

    a^m+b^m=(a+b)[a^(m-1)-a^(m-2)b+……-b^(m-2)a+b^(m-1)](m为奇数)

    ⑶分组分解法

    分组分解法:把一个多项式分组后,再进行分解因式的方法.

    分组分解法必须有明确目的,即分组后,可以直接提公因式或运用公式.

    ⑷拆项、补项法

    拆项、补项法:把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项(或几项),使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解;要注意,必须在与原多项式相等的原则进行变形.

    ⑸十字相乘法

    ①x^2+(p q)x+pq型的式子的因式分解

    这类二次三项式的特点是:二次项的系数是1;常数项是两个数的积;一次项系数是常数项的两个因数的和.因此,可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分x^2+(p q)x+pq=(x+p)(x+q)

    ②kx^2+mx+n型的式子的因式分解

    如果能够分解成k=ac,n=bd,且有ad+bc=m 时,那么

    kx^2+mx+n=(ax b)(cx d)

    a -----/b ac=k bd=n

    c /-----d ad+bc=m

    ※ 多项式因式分解的一般步骤:

    ①如果多项式的各项有公因式,那么先提公因式;

    ②如果各项没有公因式,那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解;

    ③如果用上述方法不能分解,那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解;

    ④分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.

    (6)应用因式定理:如果f(a)=0,则f(x)必含有因式(x-a).