如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,侧棱PA垂直底面ABCD,PA=AD=1,E,F分别为PD,AC

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  • 几何法:

    (1)连接BD

    ∵四边形ABCD是正方形,F是AC中点,∴F是BD中点

    ∵E是PD中点,∴EF∥PB

    ∴EF∥面PAB

    (2)S△FAB=S正方形ABCD/4=1/4

    取AD中点G,连接EG,则EG是△PAD的中位线

    ∴EG∥PA,EG=PA/2=1/2

    ∵PA⊥面ABCD,∴EG⊥面ABCD

    ∴V三棱锥EFAB=1/3*EG*S△FAB=1/24

    ∵PA⊥面ABCD,∴PA⊥AD

    ∵PA=AD=1,∴AE=√2/2

    又得PA⊥AB,AB⊥AD,∴AB⊥面PAD

    ∵PE在面PAD上,∴AB⊥AE

    ∴S△EAB=1/2*AE*AB=√2/4

    设F到面EAB距离为d,则

    V三棱柱EFAB=1/3*d*S△EAB

    解得d=√2/4

    向量法:

    (1)∵PA⊥面ABCD,∴PA⊥AD,PA⊥AB

    ∵四边形ABCD是正方形,∴AB⊥AD

    ∴以A为原点,AB,AD,AP为坐标轴建系

    则E(0,1/2,1/2),F(1/2,1/2,0)

    易得面PAB法向量为AD→=(0,1,0)

    EF→=(1/2,0,-1/2)

    ∵EF→·AD→=0,∴EF→⊥AD→

    ∴EF∥面PAB

    (2)∵AB⊥面PAD,∴AB⊥PD

    ∵E是PD中点,PA=AD,∴PD⊥AE

    ∴PD⊥面ABE,即PD→=(0,1,-1)是面ABE的法向量

    AF→=(1/2,1/2,0)

    设F到面ABE距离为d,则

    d=|AF→·PD→|/|PD→|=|1/2|/√2=√2/4