解题思路：根据题干，可以看出有些圆圈处于三条直线上，而另一些圆圈处于两条直线上，还有一个圆圈处于一条直线上，要想利用“重数”的分析法，有很大的困难，通过分析不难看出有一个圆圈的位置特殊，即A圆圈，除去这个圆圈，剩下的8个圆圈正好组成3行，从它出发就能找到答案．
如下：除去A圆圈的数字，剩下的8个圆圈恰好组成三行，
那么每条直线上所填数字之和为：
1+2+3+4+5+6+7+8+9-A=3K，
所以A一定是3的倍数，
也就是说A一定是3或6或9，那么K的值可能是14或13或12，
如果A=9，那么右下角圈内只能填1或2，此时右下角的数字至少为10，显然不符合题意．
如果A=6，那么每条直线上圈内数之和K=13，而在下图中可以得出B=C+6（比较法），
因此D+6+B=C+D+12=13，显然这是错误的．
所以只要当A=3时可以得出正确答案如下图：
所以K=14．
答：K的值是14．
点评：
本题考点： 凑数谜．
考点点评： 此题是凑数迷，找出特殊位置上的数字是本题的关键．