解题思路：由数列递推式得到
a
n+1
−
a
n
＝
a
n
2
/2]，说明命题①正确；由
a
n+2
−
a
n+1
a
n+1
−
a
n
＝(
a
n+1
a
n
)
2
＝(1+
a
n
2
)
2
＞1说明命题②正确；把
a
n+1
＝
a
n
2
+2
a
n
2
取倒数后得到命题③正确；由递推公式2an+1=an2+2an，移项得2an+1-an2-2an=0，在两边加上anan+1，并将左边提公因式得出（an+1-an）（an+2）=anan+1，可得
1
a
n
+2
＝
1
a
n
−
1
a
n+1
，
求出前2013项得和后结合已知说明命题④正确．
由2an+1=an2+2an，得
an+1＝
an2+2an
2，
∴an+1-an=
an2+2an
2−an＝
an2
2＞0．
∴数列{an}单调递增．
命题①正确；
由an+1−an＝
an2
2，得an+2−an+1＝
an+12
2．
∴
an+2−an+1
an+1−an＝(
an+1
an)2＝(1+
an
2)2＞1．
∴数列{an+1-an}单调递增．
命题②错误；
∵an+1＝
an2+2an
2，
∴[1
an+1＝
2
an(an+2)=
1
an-
1
an+2．
命题③正确；
∵a1=
1/4]，2an+1=an2+2an，
∴数列{an}各项为正，并且[1
an+2＞0．
由递推公式2an+1=an2+2an，移项得2an+1-an2-2an=0，
在两边加上anan+1，并将左边提公因式得出（an+1-an）（an+2）=a
点评：
本题考点： 数列递推式．
考点点评： 本题考查了数列递推式，考查了命题的真假判断与应用，综合考查了学生分析问题和解决问题的能力，是有一定难度题目．
1年前
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