Question

已知抛物线y=-x2+mx-n的对称轴为x=-2，且与x轴只有一个交点．

Answer 1

解题思路：（1）根据对称轴公式求出m=-4．再利用抛物线与x轴只有一个交点，得出m²-4n=0，进而得出n的值；

（2）根据m，n的值求出二次函数解析式，进而利用二次函数的平移得出新的解析式；

（3）根据等边三角形的性质得出

tan60°＝

DH

BH

．进而得出a²=3（b-1）²．求出a，b的值即可．

（1）∵抛物线的对称轴为x=-2，

∴m=-4．

∵抛物线与x轴只有一个交点，

∴m²-4n=0．

∴n=4．

（2）∵m=-4，n=4，

∴y=-x²-4x-4．

∴y=-（x+2）²．

∴抛物线C的解析式为　y=x²-1．

（3）假设点D存在，设D（a，b）．

作DH⊥y轴于点H，如图；

则DH=|a|，BH=|b-1|．

由△DPB为等边三角形，

得Rt△DHB中，∠HBD=60°．

∴tan60°=

DH

BH．

∴

3=

|a|

|b-1|．

∴a²=3（b-1）²．

∵D（a，b）在抛物线C上，

∴b=a²-1．

∴b=3（b-1）²-1．

∴b=2或b=

1

3．

∴a=±

3或a=±

2

3

3．

∴满足条件的点存在，分别为D1(

3，2)，D2(-

3，2)，D3(

2

3

3，

1

3)，D4(-

2

3

3，

1

3)．

点评：

本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 此题主要考查了二次函数的综合题目，利用函数与坐标轴交点性质以及二次函数平移是重点知识，同学们应重点掌握．