Question

设对所有的实数x,不等式x的4次方加6乘x的平方加a大于4乘x的三次方加8x恒成立,试确定实数a的取值范围

Answer 1

x^4+6x^2+a>4x^3+8x恒成立,

则 a>-x^4+4x^3-6x^2+8x恒成立.

令f(x)=-x^4+4x^3-6x^2+8x,

则 f '(x)=-4x^3+12x^2-12x+8=-4(x^3-3x^2+3x-2)=-4(x-2)(x^2-x+1)

由于 x^2-x+1=(x-1/2)^2+3/4>0,

所以,由 f '(x)=0 得 f(x) 惟一驻点 x=2,

且x8.