Question

对称阵都可以表示成另一个矩阵和其转置的乘积吗,比如任意对称阵C,可以找到一个矩阵A,使得C=A'A吗

Answer 1

任何一个半正定矩阵A,则存在矩阵C使得

A=C'C

任何一个正定矩阵A,则存在可逆矩阵C使得

A=C'C

一般的矩阵不具有此性质.

证明也很简单,以半正定矩阵为例：

A半正定,则岑在可逆矩阵P使得A=P'DP,其中D为对角阵,且主对角线为特征值,显然都是非负的.不妨设其为D=diag(a1,a2,……,an)

则令C=diag(sqrt(a1),sqrt(a2),……,sqrt(an))P,有

A=C'C

注：

在矩阵分析中,上面的也叫做平方根分解