解题思路:(1)本题可分别证明四边形AEFD的两边平行,先求DF∥EA,也就是求∠BDC=90°,已知∠C是60°,可以通过等腰梯形的性质得出∠BAD=∠ADC=120°,在等腰三角形ABD中,AE是底边的高,根据等腰三角形三线合一的特点可得出∠BAE=∠EAD=60°,E是BD中点,那么∠ADB=30°,因此便可证得∠BDC=90°即可得出AE∥DF,下面证AD∥EF,EF是三角形DBC的中位线,EF∥BC∥AD,因此便可得出四边形AEFD是平行四边形.
(2)我们不难看出DG⊥EF,因此四边形EDFG的面积可用[1/2]EF•DG来求.直角三角形AED中有AE的值,有∠ADB的度数,可以求出AD的长,也就求出了EF的长,同理可在三角形DGC中求出DG的长,这样就能求出四边形DEGF的面积了.
(1)证明:∵AB=DC,
∴梯形ABCD为等腰梯形.
∵∠C=60°,
∴∠BAD=∠ADC=120°.
又∵AB=AD,
∴∠ABD=∠ADB=30°.
∴∠DBC=∠ADB=30°.
∴∠BDC=90°.
由AE⊥BD,
∴AE∥DC.
又∵AE为等腰△ABD的高,
∴E是BD的中点(等腰三角形三线合一).
∵F是DC的中点,
∴EF∥BC.
∴EF∥AD.
∴四边形AEFD是平行四边形.
(2)在Rt△AED中,∠ADB=30°,
∵AE=x,
∴AD=2x.
在Rt△DGC中∠C=60°,且DC=AD=2x,
∴DG=
3x.
由(1)知:在平行四边形AEFD中:EF=AD=2x,
又∵DG⊥BC,
∴DG⊥EF.
∴四边形DEGF的面积=[1/2]EF•DG.
∴y=[1/2]×2x•
3x=
3x2(x>0).
点评:
本题考点: 梯形;平行四边形的判定.
考点点评: 本题的关键是求出四边形AEFD是平行四边形,要根据已知条件选择比较容易的证法.