可以用定义证,这里给出一个更简单的证法,用特征函数证：
N(a,σ²)的特征函数为exp(iat-σ²t²/2)
因为X,Y独立
所以有f_(aX+bY)(t)
=f_(aX)(t)*f_(bY)(t)
=f_(X)(at)*f_(Y)(bt)
=exp(iμ1at-σ1²a²t²/2)*exp(iμ2bt-σ2²b²t²/2)
=exp(i(aμ1+bμ2)t-(a²σ1²+b²σ2²)t²/2)
这就是N(aμ1+bμ2,a²σ1²+b²σ2²)的特征函数
由特征函数的唯一性知aX+bY~N(aμ1+bμ2,a²σ1²+b²σ2²)
注：以上“_(X)”,“_(Y)”,“_(aX+bY)”,“_(aX)”,“_(bY)”表示相应的下标,我不知道在这里怎么实现.