Question

设向量a,b,c 是单位向量且向量a·b=0,则（向量a-c）·（向量b-c）的最小值为?

Answer 1

(a-c)(b-c)

=a·b-a·c-b·c+c^2

=-a·c-b·c+1

=-c·(a+b)+1

由于a、b垂直,且a、b都是单位向量,故a+b=根号2·a

∴原式＝-c·(根号2a)＋1

=|根号2a|·|-c|·cosα+1

=根号2cosα+1

≥-根号2+1

其中α是向量根号2a与向量-c的夹角

也就是将三个向量都移至原点时,a、b成90°角,而c与向量a+b同向时,有最小值-根号2+1