（1）∵MN∥BC,∴∠AMN=∠B,∠ANM＝∠C．
∴ △AMN ∽ △ABC．
∴ ,即．
∴ AN＝x．
∴ =．（0＜＜4）
（2）
如图2,设直线BC与⊙O相切于点D,连结AO,OD,则AO =OD =MN．
在Rt△ABC中,BC ＝=5．
由（1）知 △AMN ∽ △ABC．
∴ ,即．
∴ ,
∴ ．
过M点作MQ⊥BC 于Q,则．
在Rt△BMQ与Rt△BCA中,∠B是公共角,
∴ △BMQ∽△BCA．
∴ ．
∴ ,．
∴ x＝．
∴ 当x＝时,⊙O与直线BC相切
（3）随点M的运动,当P点落在直线BC上时,连结AP,则O点为AP的中点．
∵ MN∥BC,∴ ∠AMN=∠B,∠AOM＝∠APC．
∴ △AMO ∽ △ABP．
∴ ． AM＝MB＝2．
故以下分两种情况讨论：
① 当0＜≤2时,．
∴ 当＝2时,
② 当2＜＜4时,设PM,PN分别交BC于E,F．
∵ 四边形AMPN是矩形,
∴ PN∥AM,PN＝AM＝x．
又∵ MN∥BC,
∴ 四边形MBFN是平行四边形．
∴ FN＝BM＝4－x．
∴ ．
又△PEF ∽ △ACB．
∴ ．
∴ ．
＝．
当2＜＜4时,．
∴ 当时,满足2＜＜4,．
综上所述,当时,值最大,最大值是2．