Question

如图，ABCD是面积为a 2 的任意四边形，顺次连接各边中点得到四边形A 1 B 1 C 1 D 1 ，再顺次连接A 1

Answer 1

连接AC，BD．

∵四边形A ₁B ₁C ₁D ₁是顺次连接各中点得到的，

∴

B A 1

BA =

B B 1

BC =

A 1 B 1

AC =

1

2 ，

故△BB ₁A _I∽ △BCA，相似比为

1

2 ，面积比为

1

4 ，即S _△BB1AI=

1

4 S _△BCA，

同理可得S _△DD1C1=

1

4 S _△DAC，即S _△BB1AI+S _△DD1C1=

1

4 （S _△DAC+S _△BCA）=

1

4 S _{四边形ABCD}，

同理可得S _△CC1B1+S _△AA1D1=

1

4 S _{四边形ABCD}，故

S _△BB1AI+S _△DD1C1+S _△CC1B1+S _△AA1D1=

1

2 S _{四边形ABCD}，

则S _{四边形A1B1C1D1}=

1

2 S _{四边形ABCD}=

a 2

2 ，

同理可得第二个小四边形的面积为

1

2 ×

a 2

2 即

a 2

2 2 ．

第三个面积为

a 2

2 3 ，以此类推第n个四边形的面积为

a 2

2 n ．

1年前

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