Question

在平面直角坐标系xOy中，点_P到定点F（-1，0）的距离的两倍和它到定直线x=-4的距离相等．

Answer 1

（Ⅰ）设P（x，y），根据题意，2|PF|=d．

即：2

(x+1) 2 +y 2 =|4+x|，

平方化简得3x ²+4y ²=12，即

x 2

4 +

y 2

3 =1 ．

点P的轨迹是长轴、短轴长分别为4、2

3 ，焦点在x轴上的椭圆．

（Ⅱ）设直线L与轨迹C的交点为A（x ₁，y ₁），B（x ₂，y ₂）两点．

联立方程得：

y=x+m

x 2

4 +

y 2

3 =1 ⇒7x ²+8mx+4m ²-12=0，

x ₁+x ₂=-

8m

7 ，x ₁x ₂=

4m 2 -12

7 ，

△=64m ²-4×7×4（m ²-3）=48（7-m ²）＞0

|AB|=

2 [ (x 1 +x 2 ) 2 - 4x 1 x 2 ] =

4

6

7 ×

7 -m 2 ．

点Q（1，1）到L：y=x+m的距离为

|m|

2 ．

∴S _△=

1

2 ×

4

6

7 ×

7 -m 2 ×

|m|

2 =

2

3

7 ×

(7 -m 2 )m 2 ≤

2

3

7 ×

7 -m 2 +m 2

2 =

3 ．

当且仅当7-m ²=m ²，即m=±

14

2 时，满足△=48（7-m ²）＞0，

∴存在实数m= ±

14

2 ，使△ABQ的面积S最大，最大值为

3 ．