{an}是正数组成的数列,其前n项和为Sn,并且对所有正整数n,an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项

1个回答

  • (1)∵an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项

    由﹛an﹜是正项数列

    ∴(an+2)/2=√2Sn

    ∴8Sn=(an+2)²

    ∴n=1时,8a1=(a1+2)²,a1=2

    n=2时,8(2+a2)=(a2+2)²,a2=6

    n=3时,8(2+6+a3)=(a3+2)²,a3=10

    (2)∵8Sn=(an+2)²

    ∴8S(n-1)=[a(n-1)+2]²,n≥2

    ∴8an=8Sn-8S(n-1)=an²+4an-a(n-1)²-4a(n-1)

    ∴an²-a(n-1)²-4an-4a(n-1)=0

    ∴[an+a(n-1)][an-a(n-1)-4]=0

    ∵﹛an﹜是正项数列

    ∴an+a(n-1)][>0

    ∴an-a(n-1)-4=0

    ∴an=a(n-1)+4

    ∴an=a1+(n-1)×4=4n-2

    n=1时,a1=4-2=2,成立

    ∴an=4n-2

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