Question

高数微分方程问题,会做的有加分求满足初始条件的特解,y''+y'^2+1=0,y|（x=0）=0,y‘|(x=0)=1答

Answer 1

答案不对,x=0时,y不等于0,

设p=y',则y''=p'

原方程化为

p'+p^2+1=0 (1)

化简 dp/(p^2+1)=-dx,对两边积分

arctan(P)=-x+C1,

由p|(x=0)=1,得,C1=π/4

所以 p=tan(π/4-x)

dy = tan(π/4-x) dx (2)

因为tan(x)的原函数是 -ln(cos x ),则(2)

y = ln(cos(π/4-x)) + C2

由 y|(x=0) = 0

则C2 = ln(√2/2) = 1/2ln2 - ln2

所以 y = ln(cos(π/4-x)) + 1/2ln2 - ln2